ایلیٹ یونیورسٹیوں سے ریاضی کے سرفہرست مفت کورسز

فرانسیسی میں کورسز

بے ترتیب: امکان کا تعارف – حصہ 1 (پولی ٹیکنک پیرس)

École Polytechnique، ایک مشہور ادارہ، Coursera پر ایک دلچسپ کورس پیش کرتا ہے جس کا عنوان ہے "Random: an introduction to probability - Part 1". تین ہفتوں پر محیط تقریباً 27 گھنٹے تک جاری رہنے والا یہ کورس، امکانات کی بنیادوں میں دلچسپی رکھنے والوں کے لیے ایک غیر معمولی موقع ہے۔ لچکدار ہونے اور ہر سیکھنے والے کی رفتار کے مطابق ڈھالنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا، یہ کورس امکانی تھیوری کے لیے ایک گہرائی اور قابل رسائی نقطہ نظر پیش کرتا ہے۔

پروگرام 8 مشغول ماڈیولز پر مشتمل ہے، ہر ایک امکانی جگہ، یکساں امکانی قوانین، کنڈیشنگ، آزادی، اور بے ترتیب متغیرات کے کلیدی پہلوؤں کو حل کرتا ہے۔ ہر ماڈیول کو وضاحتی ویڈیوز، اضافی ریڈنگز اور کوئزز سے مالا مال کیا گیا ہے تاکہ حاصل کردہ علم کو جانچا جا سکے۔ طلباء کو کورس کی تکمیل پر قابل اشتراک سرٹیفکیٹ حاصل کرنے کا موقع بھی ملتا ہے، جس سے ان کے پیشہ ورانہ یا تعلیمی سفر میں اہم اضافہ ہوتا ہے۔

انسٹرکٹرز، سلوی میلارڈ، جین-رینی چازوٹس اور کارل گراہم، سبھی École Polytechnique سے وابستہ ہیں، ریاضی کے لیے اپنی مہارت اور جذبہ لاتے ہیں، جو اس کورس کو نہ صرف تعلیمی بلکہ متاثر کن بناتے ہیں۔ چاہے آپ ریاضی کے طالب علم ہوں، ایک پیشہ ور جو آپ کے علم کو گہرا کرنے کے خواہاں ہیں، یا محض ایک سائنس کے شوقین، یہ کورس امکانات کی دلچسپ دنیا میں جانے کا ایک انوکھا موقع فراہم کرتا ہے، جس کی رہنمائی École Polytechnique کے کچھ بہترین ذہنوں سے ہوتی ہے۔

بے ترتیب: امکان کا تعارف – حصہ 2 (پولی ٹیکنک پیرس)

École Polytechnique کی تعلیمی فضیلت کو جاری رکھتے ہوئے، Coursera پر کورس "Random: an introduction to probability – Part 2" پہلے حصے کا براہ راست اور بھرپور تسلسل ہے۔ یہ کورس، جس کا تخمینہ 17 گھنٹے تین ہفتوں پر محیط ہے، طلباء کو امکانی نظریہ کے مزید جدید تصورات میں غرق کرتا ہے، جو اس دلچسپ نظم و ضبط کی گہری سمجھ اور وسیع تر اطلاقات فراہم کرتا ہے۔

6 اچھی ساخت والے ماڈیولز کے ساتھ، کورس بے ترتیب ویکٹرز، قانون کے حسابات کو عام کرنے، بڑی تعداد کے تھیورم کا قانون، مونٹی کارلو طریقہ، اور مرکزی حد تھیوریم جیسے موضوعات کا احاطہ کرتا ہے۔ ہر ماڈیول میں تعلیمی ویڈیوز، پڑھنے اور کوئز شامل ہیں، سیکھنے کے ایک عمیق تجربے کے لیے۔ یہ فارمیٹ طلباء کو مواد کے ساتھ فعال طور پر مشغول ہونے اور سیکھے ہوئے تصورات کو عملی طور پر لاگو کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

اساتذہ، Sylvie Méléard، Jean-René Chazottes اور Carl Graham اپنی مہارت اور ریاضی کے شوق کے ساتھ اس تعلیمی سفر میں طلباء کی رہنمائی کرتے رہتے ہیں۔ ان کا تدریسی نقطہ نظر پیچیدہ تصورات کو سمجھنے میں سہولت فراہم کرتا ہے اور امکان کی گہرائی سے تحقیق کی حوصلہ افزائی کرتا ہے۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے مثالی ہے جن کے پاس پہلے سے ہی امکانات کی مضبوط بنیاد ہے اور وہ ان تصورات کو مزید پیچیدہ مسائل پر لاگو کرنے کی اپنی سمجھ اور صلاحیت کو وسیع کرنا چاہتے ہیں۔ اس کورس کو مکمل کرنے سے، طلباء اس خصوصی شعبے میں اپنی وابستگی اور قابلیت کا مظاہرہ کرتے ہوئے ایک قابل اشتراک سرٹیفکیٹ بھی حاصل کر سکتے ہیں۔

تقسیم نظریہ کا تعارف (پولی ٹیکنک پیرس)

کورسیرا پر École Polytechnique کی طرف سے پیش کردہ "تقسیم کے نظریہ کا تعارف" کورس، ایک جدید ریاضی کے شعبے کی ایک منفرد اور گہرائی سے تلاش کی نمائندگی کرتا ہے۔ تقریباً 15 گھنٹے تک جاری رہنے والا یہ کورس تین ہفتوں پر محیط ہے، ان لوگوں کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے جو تقسیم کو سمجھنا چاہتے ہیں، جو کہ لاگو ریاضی اور تجزیہ میں ایک بنیادی تصور ہے۔

پروگرام 9 ماڈیولز پر مشتمل ہے، ہر ایک تعلیمی ویڈیوز، پڑھنے اور کوئزز کا مرکب پیش کرتا ہے۔ یہ ماڈیول تقسیم نظریہ کے مختلف پہلوؤں کا احاطہ کرتے ہیں، بشمول پیچیدہ مسائل جیسے کہ متضاد فعل کے مشتق کی وضاحت کرنا اور متضاد افعال کو تفریق مساوات کے حل کے طور پر لاگو کرنا۔ یہ منظم انداز طالب علموں کو بتدریج ان تصورات سے واقف ہونے کی اجازت دیتا ہے جو شروع میں خوفزدہ لگ سکتے ہیں۔

پروفیسر François Golse اور Yvan Martel، دونوں École Polytechnique کے معزز اراکین، اس کورس میں کافی مہارت لاتے ہیں۔ ان کی تعلیم تعلیمی سختی اور جدید تدریسی طریقوں کو یکجا کرتی ہے، جو مواد کو طلباء کے لیے قابل رسائی اور دلکش بناتی ہے۔

یہ کورس خاص طور پر ریاضی، انجینئرنگ، یا متعلقہ شعبوں کے طلباء کے لیے موزوں ہے جو پیچیدہ ریاضیاتی ایپلی کیشنز کے بارے میں اپنی سمجھ کو گہرا کرنے کے خواہاں ہیں۔ اس کورس کو مکمل کرنے سے، شرکاء نے نہ صرف قیمتی معلومات حاصل کی ہوں گی، بلکہ انہیں قابل اشتراک سرٹیفکیٹ حاصل کرنے کا موقع بھی ملے گا، جس سے ان کے پیشہ ورانہ یا تعلیمی پروفائل میں اہم اضافہ ہوگا۔

گیلوئس تھیوری کا تعارف (سپریئر نارمل اسکول پیرس)

کورسیرا پر École normale supérieure کی طرف سے پیش کیا گیا، "گیلوئس تھیوری کا تعارف" کورس جدید ریاضی کی سب سے زیادہ گہرائی اور اثر انگیز شاخوں میں سے ایک کی ایک دلچسپ تحقیق ہے۔تقریباً 12 گھنٹے تک جاری رہنے والا یہ کورس طلباء کو گیلوئس تھیوری کی پیچیدہ اور دلکش دنیا میں غرق کر دیتا ہے، یہ ایک ایسا شعبہ ہے جس نے کثیر الجبری مساوات اور الجبری ڈھانچے کے درمیان تعلقات کی تفہیم میں انقلاب برپا کر دیا ہے۔

یہ کورس کثیر الثانیات کی جڑوں کے مطالعہ پر توجہ مرکوز کرتا ہے اور ان کے گتانک سے اظہار کرتا ہے، جو الجبرا میں ایک مرکزی سوال ہے۔ یہ گیلوئس گروپ کے تصور کی کھوج کرتا ہے، جسے ایوریسٹ گیلوئس نے متعارف کرایا تھا، جو ہر کثیرالاضلاع کو اس کی جڑوں کی ترتیب کے ایک گروپ سے جوڑتا ہے۔ یہ نقطہ نظر ہمیں یہ سمجھنے کی اجازت دیتا ہے کہ الجبری فارمولوں کے ذریعے بعض کثیر الجہتی مساوات کی جڑوں کا اظہار کرنا کیوں ناممکن ہے، خاص طور پر چار سے زیادہ ڈگری کے کثیر ناموں کے لیے۔

Galois خط و کتابت، کورس کا ایک اہم عنصر، فیلڈ تھیوری کو گروپ تھیوری سے جوڑتا ہے، جو بنیاد پرست مساوات کی حل پذیری پر ایک منفرد تناظر فراہم کرتا ہے۔ یہ کورس لکیری الجبرا میں بنیادی تصورات کا استعمال کرتا ہے جسموں کے نظریہ تک پہنچنے اور الجبری نمبر کے تصور کو متعارف کرانے کے لیے، جبکہ گیلوئس گروپس کے مطالعہ کے لیے ضروری ترتیب کے گروپوں کو تلاش کرتا ہے۔

یہ کورس پیچیدہ الجبرا کے تصورات کو قابل رسائی اور آسان طریقے سے پیش کرنے کی صلاحیت کے لیے خاص طور پر قابل ذکر ہے، جس سے طلباء کو کم از کم تجریدی رسمیت کے ساتھ بامعنی نتائج حاصل کرنے کی اجازت ملتی ہے۔ یہ ریاضی، طبیعیات، یا انجینئرنگ کے طالب علموں کے ساتھ ساتھ ریاضی کے شوقین افراد کے لیے مثالی ہے جو الجبری ڈھانچے اور ان کے اطلاق کے بارے میں اپنی سمجھ کو گہرا کرنا چاہتے ہیں۔

اس کورس کو مکمل کرنے سے، شرکاء نہ صرف Galois تھیوری کی گہری سمجھ حاصل کریں گے، بلکہ انہیں ایک قابل اشتراک سرٹیفکیٹ حاصل کرنے کا موقع بھی ملے گا، جس سے ان کے پیشہ ورانہ یا تعلیمی پروفائل میں اہم اضافہ ہوگا۔

تجزیہ I (حصہ 1): پیش کش، بنیادی تصورات، حقیقی اعداد (اسکول پولی ٹیکنک فیڈرل ڈی لوزین)

کورس "تجزیہ I (حصہ 1): پیش کش، بنیادی تصورات، حقیقی اعداد"، École Polytechnique Fédérale de Lousanne کی طرف سے edX پر پیش کیا گیا، حقیقی تجزیہ کے بنیادی تصورات کا ایک گہرائی سے تعارف ہے۔ یہ 5 ہفتے کا کورس، جس میں ہر ہفتے تقریباً 4-5 گھنٹے مطالعہ کی ضرورت ہوتی ہے، آپ کی اپنی رفتار سے مکمل کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔

کورس کا مواد ایک تمہید کے ساتھ شروع ہوتا ہے جو ضروری ریاضیاتی تصورات پر نظرثانی کرتا ہے اور گہرا کرتا ہے جیسے کہ مثلثی افعال (sin، cos، tan)، باہمی افعال (exp، ln)، نیز طاقتوں، لوگارتھم اور جڑوں کے حساب کے اصول۔ یہ بنیادی سیٹ اور افعال کا بھی احاطہ کرتا ہے۔

کورس کا بنیادی مرکز نمبر سسٹمز پر مرکوز ہے۔ فطری اعداد کے بدیہی تصور سے شروع کرتے ہوئے، یہ کورس معقول نمبروں کی سختی سے وضاحت کرتا ہے اور ان کی خصوصیات کو تلاش کرتا ہے۔ خاص طور پر حقیقی نمبروں پر توجہ دی جاتی ہے، جو کہ عقلی اعداد کے خلا کو پُر کرنے کے لیے متعارف کرائے گئے ہیں۔ یہ کورس حقیقی اعداد کی ایک محوری تعریف پیش کرتا ہے اور ان کی خصوصیات کا تفصیل سے مطالعہ کرتا ہے، بشمول انفیمم، سپریمم، مطلق قدر اور حقیقی اعداد کی دیگر اضافی خصوصیات جیسے تصورات۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے مثالی ہے جو ریاضی کا بنیادی علم رکھتے ہیں اور حقیقی دنیا کے تجزیہ کے بارے میں اپنی سمجھ کو گہرا کرنا چاہتے ہیں۔ یہ خاص طور پر ریاضی، طبیعیات، یا انجینئرنگ کے طالب علموں کے ساتھ ساتھ ریاضی کی بنیادوں کی سخت تفہیم میں دلچسپی رکھنے والے ہر فرد کے لیے مفید ہے۔

اس کورس کو مکمل کرنے سے، شرکاء حقیقی نمبروں اور تجزیہ میں ان کی اہمیت کے بارے میں ٹھوس سمجھ حاصل کریں گے، ساتھ ہی ساتھ قابل اشتراک سرٹیفکیٹ حاصل کرنے کا موقع بھی حاصل کریں گے، جس سے ان کے پیشہ ورانہ یا تعلیمی پروفائل میں اہم اضافہ ہوگا۔

تجزیہ I (حصہ 2): پیچیدہ اعداد کا تعارف (اسکول پولی ٹیکنک فیڈرل ڈی لوزین)

کورس "تجزیہ I (حصہ 2): پیچیدہ نمبروں کا تعارف"، École Polytechnique Fédérale de Lousanne کی طرف سے edX پر پیش کیا گیا، پیچیدہ اعداد کی دنیا کا ایک دلکش تعارف ہے۔یہ 2 ہفتے کا کورس، جس میں ہر ہفتے تقریباً 4-5 گھنٹے مطالعہ کی ضرورت ہوتی ہے، آپ کی اپنی رفتار سے مکمل کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔

کورس کا آغاز مساوات z^2 = -1 سے ہوتا ہے، جس کا حقیقی اعداد کے سیٹ میں کوئی حل نہیں ہوتا، R۔ یہ مسئلہ پیچیدہ نمبروں، C کے تعارف کی طرف لے جاتا ہے، ایک فیلڈ جس میں R ہوتا ہے اور ہمیں اس طرح کے حل کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مساوات یہ کورس ایک پیچیدہ نمبر کی نمائندگی کرنے کے مختلف طریقے تلاش کرتا ہے اور z^n = w فارم کی مساوات کے حل پر بحث کرتا ہے، جہاں n کا تعلق N* اور w سے C سے ہے۔

کورس کی ایک خاص بات الجبرا کے بنیادی تھیوریم کا مطالعہ ہے، جو کہ ریاضی کا کلیدی نتیجہ ہے۔ اس کورس میں پیچیدہ نمبروں کی کارٹیشین نمائندگی، ان کی ابتدائی خصوصیات، ضرب کے لیے معکوس عنصر، یولر اور ڈی موویری فارمولہ، اور ایک پیچیدہ نمبر کی قطبی شکل جیسے موضوعات بھی شامل ہیں۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے مثالی ہے جو پہلے سے ہی حقیقی نمبروں کا کچھ علم رکھتے ہیں اور اپنی سمجھ کو پیچیدہ نمبروں تک بڑھانا چاہتے ہیں۔ یہ خاص طور پر ریاضی، طبیعیات، یا انجینئرنگ کے طالب علموں کے ساتھ ساتھ الجبرا اور اس کے اطلاقات کی گہری سمجھ میں دلچسپی رکھنے والے ہر فرد کے لیے مفید ہے۔

اس کورس کو مکمل کرنے سے، شرکاء کو پیچیدہ نمبروں اور ریاضی میں ان کے اہم کردار کے بارے میں ٹھوس سمجھ حاصل ہو گی، ساتھ ہی ساتھ قابل اشتراک سرٹیفکیٹ حاصل کرنے کا موقع بھی ملے گا، جس سے ان کے پیشہ ورانہ یا تعلیمی پروفائل میں اہم اضافہ ہو گا۔

تجزیہ I (حصہ 3): حقیقی نمبر I اور II کی ترتیب (اسکول پولی ٹیکنک فیڈرل ڈی لوزین)

کورس "تجزیہ I (حصہ 3): حقیقی نمبرز I اور II کے سلسلے"، جو École Polytechnique Fédérale de Lousanne کی طرف سے edX پر پیش کیا گیا ہے، حقیقی نمبروں کی ترتیب پر مرکوز ہے۔ یہ 4 ہفتے کا کورس، جس میں ہر ہفتے تقریباً 4-5 گھنٹے مطالعہ کی ضرورت ہوتی ہے، آپ کی اپنی رفتار سے مکمل کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔

اس کورس کا مرکزی تصور حقیقی نمبروں کی ترتیب کی حد ہے۔ یہ حقیقی اعداد کی ترتیب کو N سے R تک ایک فنکشن کے طور پر بیان کرنے سے شروع ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ترتیب a_n = 1/2^n کو تلاش کیا جاتا ہے، یہ دکھاتا ہے کہ یہ صفر تک کیسے پہنچتا ہے۔ کورس ایک ترتیب کی حد کی تعریف پر سختی سے توجہ دیتا ہے اور حد کے وجود کو قائم کرنے کے طریقے تیار کرتا ہے۔

اس کے علاوہ، کورس حد کے تصور اور انفیمم اور سیٹ کے سپریمم کے درمیان ایک ربط قائم کرتا ہے۔ حقیقی اعداد کی ترتیب کا ایک اہم اطلاق اس حقیقت سے واضح ہوتا ہے کہ ہر حقیقی عدد کو عقلی اعداد کی ترتیب کی حد سمجھا جا سکتا ہے۔ اس کورس میں لکیری انڈکشن کے ساتھ ساتھ بولزانو-ویئرسٹراس تھیوریم کے ذریعے بیان کردہ کاچی سیکوینسز اور سیکونسز کو بھی دریافت کیا گیا ہے۔

شرکاء عددی سیریز کے بارے میں بھی سیکھیں گے، مختلف مثالوں اور کنورجنسی کے معیار کے تعارف کے ساتھ، جیسے ڈی ایلمبرٹ کسوٹی، کاچی کسوٹی، اور لیبنز کا معیار۔ کورس ایک پیرامیٹر کے ساتھ عددی سیریز کے مطالعہ کے ساتھ ختم ہوتا ہے۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے مثالی ہے جو ریاضی کا بنیادی علم رکھتے ہیں اور حقیقی نمبروں کی ترتیب کے بارے میں اپنی سمجھ کو گہرا کرنا چاہتے ہیں۔ یہ خاص طور پر ریاضی، فزکس یا انجینئرنگ کے طلباء کے لیے مفید ہے۔ اس کورس کو مکمل کرنے سے، شرکاء ریاضی کی اپنی سمجھ کو بہتر بنائیں گے اور وہ ایک قابل اشتراک سرٹیفکیٹ حاصل کر سکتے ہیں، جو ان کی پیشہ ورانہ یا تعلیمی ترقی کے لیے ایک اثاثہ ہے۔

حقیقی اور مسلسل افعال کی دریافت: تجزیہ اول (حصہ 4)  (اسکول پولی ٹیکنک فیڈرل ڈی لوزین)

"تجزیہ I (حصہ 4): ایک فنکشن کی حد، مسلسل افعال" میں، École Polytechnique Fédérale de Lousanne ایک حقیقی متغیر کے حقیقی افعال کے مطالعہ میں ایک دلچسپ سفر پیش کرتا ہے۔ہفتہ وار مطالعہ کے 4 سے 4 گھنٹے کے ساتھ 5 ہفتوں تک جاری رہنے والا یہ کورس edX پر دستیاب ہے اور آپ کی اپنی رفتار سے ترقی کی اجازت دیتا ہے۔

کورس کا یہ طبقہ حقیقی افعال کے تعارف کے ساتھ شروع ہوتا ہے، ان کی خصوصیات جیسے کہ monotonicity، parity، اور periodicity پر زور دیتا ہے۔ یہ فنکشنز کے درمیان آپریشنز کو بھی دریافت کرتا ہے اور مخصوص فنکشنز جیسے ہائپربولک فنکشنز کو متعارف کراتا ہے۔ خاص طور پر دھیان مرحلہ وار بیان کردہ فنکشنز پر دیا جاتا ہے، بشمول Signum اور Heaviside فنکشنز، نیز affine transformations۔

کورس کا مرکز ایک نقطہ پر ایک فنکشن کی تیز حد پر توجہ مرکوز کرتا ہے، افعال کی حدود کی ٹھوس مثالیں فراہم کرتا ہے۔ یہ بائیں اور دائیں حدود کے تصورات کا بھی احاطہ کرتا ہے۔ اس کے بعد، کورس افعال کی لامحدود حدود کو دیکھتا ہے اور حدود کا حساب لگانے کے لیے ضروری ٹولز فراہم کرتا ہے، جیسے کہ cop تھیوریم۔

کورس کا ایک اہم پہلو تسلسل کے تصور کا تعارف ہے، جس کی وضاحت دو مختلف طریقوں سے کی گئی ہے، اور اس کا استعمال بعض افعال کو بڑھانے کے لیے ہے۔ کورس کھلے وقفوں پر تسلسل کے مطالعہ کے ساتھ ختم ہوتا ہے۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے ایک بھرپور موقع ہے جو حقیقی اور مسلسل افعال کے بارے میں اپنی سمجھ کو گہرا کرنا چاہتے ہیں۔ یہ ریاضی، طبیعیات یا انجینئرنگ کے طلباء کے لیے مثالی ہے۔ اس کورس کو مکمل کرنے سے، شرکاء نہ صرف اپنے ریاضی کے افق کو وسیع کریں گے، بلکہ انہیں ایک انعامی سرٹیفکیٹ حاصل کرنے کا موقع بھی ملے گا، جس سے نئے تعلیمی یا پیشہ ورانہ نقطہ نظر کے دروازے کھلیں گے۔

امتیازی افعال کی تلاش: تجزیہ I (حصہ 5) (اسکول پولی ٹیکنک فیڈرل ڈی لوزین)

École Polytechnique Fédérale de Lousanne، edX پر اپنی تعلیمی پیشکش میں، "تجزیہ I (حصہ 5): مسلسل افعال اور قابل تفریق افعال، مشتق فعل" پیش کرتا ہے۔ یہ چار ہفتے کا کورس، جس میں ہر ہفتے تقریباً 4-5 گھنٹے مطالعہ کی ضرورت ہوتی ہے، تفریق اور افعال کے تسلسل کے تصورات کی گہرائی سے تحقیق ہے۔

کورس کا آغاز مسلسل افعال کے گہرائی سے مطالعہ کے ساتھ ہوتا ہے، بند وقفوں پر ان کی خصوصیات پر توجہ مرکوز کرتے ہوئے۔ یہ سیکشن طلباء کو زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم مسلسل افعال کو سمجھنے میں مدد کرتا ہے۔ اس کے بعد کورس دو حصوں کا طریقہ متعارف کراتا ہے اور اہم تھیورمز پیش کرتا ہے جیسے انٹرمیڈیٹ ویلیو تھیوریم اور فکسڈ پوائنٹ تھیوریم۔

کورس کا مرکزی حصہ افعال کی تفریق اور تفریق کے لیے وقف ہے۔ طلباء ان تصورات کی تشریح کرنا اور ان کے مساوی کو سمجھنا سیکھتے ہیں۔ اس کے بعد کورس مشتق فنکشن کی تعمیر کو دیکھتا ہے اور اس کی خصوصیات کو تفصیل سے جانچتا ہے، بشمول مشتق افعال پر الجبری آپریشنز۔

کورس کا ایک اہم پہلو قابل تفریق افعال کی خصوصیات کا مطالعہ ہے، جیسے افعال کی تشکیل کا مشتق، رول کا نظریہ، اور محدود اضافہ کا نظریہ۔ یہ کورس مشتق فعل کے تسلسل اور تفریق پذیر فنکشن کی یکجہتی پر اس کے اثرات کو بھی دریافت کرتا ہے۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے ایک بہترین موقع ہے جو مختلف اور مسلسل افعال کے بارے میں اپنی سمجھ کو گہرا کرنا چاہتے ہیں۔ یہ ریاضی، طبیعیات یا انجینئرنگ کے طلباء کے لیے مثالی ہے۔ اس کورس کو مکمل کرنے سے، شرکاء نہ صرف بنیادی ریاضیاتی تصورات کے بارے میں اپنی سمجھ کو وسیع کریں گے، بلکہ انہیں ایک انعامی سرٹیفکیٹ حاصل کرنے کا موقع بھی ملے گا، جس سے نئے تعلیمی یا پیشہ ورانہ مواقع کے دروازے کھلیں گے۔

ریاضیاتی تجزیہ میں گہرا ہونا: تجزیہ I (حصہ 6) (اسکول پولی ٹیکنک فیڈرل ڈی لوزین)

کورس "تجزیہ I (حصہ 6): فنکشنز کا مطالعہ، محدود ترقیات"، École Polytechnique Fédérale de Lousanne کی طرف سے edX پر پیش کیا گیا، فنکشنز اور ان کی محدود پیش رفت کی گہرائی سے تحقیق ہے۔ یہ چار ہفتے کا کورس، ہر ہفتے 4 سے 5 گھنٹے کے کام کے بوجھ کے ساتھ، سیکھنے والوں کو اپنی رفتار سے ترقی کرنے دیتا ہے۔

کورس کا یہ باب افعال کے گہرائی سے مطالعہ پر توجہ مرکوز کرتا ہے، نظریات کا استعمال کرتے ہوئے ان کی مختلف حالتوں کو جانچتا ہے۔ محدود انکریمنٹ تھیوریم سے نمٹنے کے بعد، کورس اس کی عمومیت کو دیکھتا ہے۔ افعال کا مطالعہ کرنے کا ایک اہم پہلو ان کے رویے کو لامحدودیت پر سمجھنا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، کورس میں Bernoulli-l'Hospital کے اصول کو متعارف کرایا گیا ہے، جو کہ مخصوص حصص کی پیچیدہ حدود کا تعین کرنے کے لیے ایک ضروری ٹول ہے۔

یہ کورس فنکشنز کی تصویری نمائندگی کو بھی دریافت کرتا ہے، مقامی یا عالمی میکسما یا منیما کے وجود جیسے سوالات کی جانچ کرتا ہے، نیز فنکشنز کی محدبیت یا کنکاویٹی۔ طلباء فنکشن کے مختلف علامات کی شناخت کرنا سیکھیں گے۔

کورس کا ایک اور مضبوط نکتہ کسی فنکشن کی محدود توسیع کا تعارف ہے، جو کسی مقررہ نقطہ کے آس پاس ایک کثیر الثانی تخمینہ فراہم کرتا ہے۔ یہ پیشرفت حدود کے حساب کتاب اور افعال کی خصوصیات کے مطالعہ کو آسان بنانے کے لیے ضروری ہے۔ اس کورس میں انٹیجر سیریز اور ان کے کنورجنسنس کے رداس کے ساتھ ساتھ ٹیلر سیریز کا بھی احاطہ کیا گیا ہے، جو غیر معینہ مدت تک قابل تفریق افعال کی نمائندگی کرنے کا ایک طاقتور ٹول ہے۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے ایک قیمتی وسیلہ ہے جو ریاضی میں افعال اور ان کے اطلاق کے بارے میں اپنی سمجھ کو گہرا کرنا چاہتے ہیں۔ یہ ریاضیاتی تجزیہ میں کلیدی تصورات پر ایک افزودہ اور تفصیلی تناظر پیش کرتا ہے۔

انضمام کی مہارت: تجزیہ I (حصہ 7) (اسکول پولی ٹیکنک فیڈرل ڈی لوزین)

کورس "تجزیہ I (حصہ 7): غیر معینہ اور قطعی انضمام، انضمام (منتخب ابواب)"، جو École Polytechnique Fédérale de Lousanne کا edX پر پیش کیا گیا ہے، فنکشنز کے انضمام کی ایک تفصیلی تحقیق ہے۔ یہ ماڈیول، جو چار ہفتوں تک جاری رہتا ہے جس میں ہر ہفتے 4 سے 5 گھنٹے شامل ہوتے ہیں، سیکھنے والوں کو ان کی اپنی رفتار سے انضمام کی باریکیوں کو دریافت کرنے کی اجازت دیتا ہے۔

کورس کا آغاز غیر معینہ انٹیگرل اور ڈیفینیٹ انٹیگرل کی تعریف سے ہوتا ہے، ریمن رقوم اور اوپری اور نچلی رقم کے ذریعے قطعی انٹیگرل کا تعارف کرایا جاتا ہے۔ اس کے بعد یہ یقینی انٹیگرلز کی تین کلیدی خصوصیات پر بحث کرتا ہے: انٹیگرل کی لکیریٹی، انٹیگریشن ڈومین کی ذیلی تقسیم، اور انٹیگرل کی یکجہتی۔

کورس کا ایک مرکزی نقطہ کسی سیگمنٹ پر مسلسل افعال کے لیے اوسط تھیوریم ہے، جس کا تفصیل سے مظاہرہ کیا گیا ہے۔ کورس انٹیگرل کیلکولس کے بنیادی تھیوریم کے ساتھ اپنے عروج کو پہنچتا ہے، جس میں کسی فنکشن کے اینٹی ڈیریویٹیو کے تصور کو متعارف کرایا جاتا ہے۔ طلباء انضمام کی مختلف تکنیکیں سیکھتے ہیں، جیسے حصوں کے ذریعے انضمام، متغیرات کو تبدیل کرنا، اور انضمام کے ذریعے انضمام۔

کورس کا اختتام مخصوص افعال کے انضمام کے مطالعہ کے ساتھ ہوتا ہے، بشمول فنکشن کی محدود توسیع کا انضمام، انٹیجر سیریز کا انضمام، اور ٹکڑا وار مسلسل افعال کا انضمام۔ یہ تکنیکیں خصوصی شکلوں کے ساتھ افعال کے انضمام کو زیادہ مؤثر طریقے سے شمار کرنے کی اجازت دیتی ہیں۔ آخر میں، کورس عمومی انٹیگرلز کو دریافت کرتا ہے، جس کی تعریف انٹیگرلز میں حد سے گزر کر کی جاتی ہے، اور ٹھوس مثالیں پیش کرتا ہے۔

یہ کورس ان لوگوں کے لیے ایک قیمتی وسیلہ ہے جو انضمام میں مہارت حاصل کرنا چاہتے ہیں، جو کہ ریاضی کا ایک بنیادی آلہ ہے۔ یہ انضمام پر ایک جامع اور عملی تناظر فراہم کرتا ہے، سیکھنے والوں کی ریاضی کی مہارتوں کو تقویت دیتا ہے۔